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@Valentino Jajajaja, qué ojo que tuve :P
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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7.
[Sustitución trigonométrica] Asumiendo la validez de
d) $\int \frac{d x}{\sqrt{9+4 x^{2}}}$
I) $\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C$
II) $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen}(x)+C$
III) $\int \frac{1}{1-x^{2}} d x=\operatorname{arctanh}(x)+C$
IV) $\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\operatorname{arcsenh}(x)+C$
utilice el método de sustitución para calcular las siguientes integrales:
d) $\int \frac{d x}{\sqrt{9+4 x^{2}}}$
Respuesta
Esta integral tiene un aire a esta del enunciado:
$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\operatorname{arcsenh}(x)+C$
Así que vamos a tratar de reescribir la nuestra para que, tomando la sustitución adecuada, nos aparezca esa integral que sabemos resolver. Haciendo lo mismo que en los items anteriores nos queda:
$\int \frac{1}{\sqrt{9+4x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{9(1+\left(\frac{2x}{3}\right)^2)}} \, dx = \int \frac{1}{3\sqrt{1+\left(\frac{2x}{3}\right)^2}} \, dx$
Apaaa, y ahí casi que tenemos la integral del enunciado! Si tomamos ahora la sustitución:
$u = \frac{2x}{3}$
$du = \frac{2}{3} dx \Rightarrow \frac{1}{3} \, dx = \frac{du}{2}$
La integral en términos de $u$ nos queda:
$\int \frac{1}{3\sqrt{1+\left(\frac{2x}{3}\right)^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \, du$
Usamos el enunciado y resolvemos esta integral:
$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \, du = \frac{1}{2} \operatorname{arcsenh}(u) + C$
Y listo, volvemos a la variable original $x$ y ya tenemos el resultado:
$\int \frac{1}{\sqrt{9+4x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \operatorname{arcsenh}\left(\frac{2x}{3}\right) + C$
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Flor
PROFE
12 de junio 18:22
Gracias por avisarme! Ahí edito el ejercicio y ya dejo únicamente la resolución del que tiene que ir :)
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