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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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7. [Sustitución trigonométrica] Asumiendo la validez de

I) ∫11+x2dx=arctan⁡(x)+C\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C

II) ∫11−x2dx=arcsen⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen}(x)+C

III) ∫11−x2dx=arctanh⁡(x)+C\int \frac{1}{1-x^{2}} d x=\operatorname{arctanh}(x)+C

IV) ∫11+x2dx=arcsenh⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\operatorname{arcsenh}(x)+C

utilice el método de sustitución para calcular las siguientes integrales:
d) ∫dx9+4x2\int \frac{d x}{\sqrt{9+4 x^{2}}}

Respuesta

Esta integral tiene un aire a esta del enunciado:

∫11+x2dx=arcsenh⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\operatorname{arcsenh}(x)+C

Así que vamos a tratar de reescribir la nuestra para que, tomando la sustitución adecuada, nos aparezca esa integral que sabemos resolver. Haciendo lo mismo que en los items anteriores nos queda:

∫19+4x2 dx=∫19(1+(2x3)2) dx= ∫131+(2x3)2 dx\int \frac{1}{\sqrt{9+4x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{9(1+\left(\frac{2x}{3}\right)^2)}} \, dx = \int \frac{1}{3\sqrt{1+\left(\frac{2x}{3}\right)^2}} \, dx

Apaaa, y ahí casi que tenemos la integral del enunciado! Si tomamos ahora la sustitución:

u=2x3u = \frac{2x}{3}

du=23dx⇒13 dx=du2du = \frac{2}{3} dx \Rightarrow \frac{1}{3} \, dx = \frac{du}{2}

La integral en términos de uu nos queda:

∫131+(2x3)2 dx= 12∫11+u2 du\int \frac{1}{3\sqrt{1+\left(\frac{2x}{3}\right)^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \, du

Usamos el enunciado y resolvemos esta integral:

12∫11+u2 du= 12arcsenh⁡(u)+C\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \, du = \frac{1}{2} \operatorname{arcsenh}(u) + C

Y listo, volvemos a la variable original xx y ya tenemos el resultado:

∫19+4x2 dx=12arcsenh⁡(2x3)+C\int \frac{1}{\sqrt{9+4x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \operatorname{arcsenh}\left(\frac{2x}{3}\right) + C
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Valentino
12 de junio 13:54
Hola florrr, es como decis, lo cambiaron. Esta asi: 

2024-06-12%2013:54:07_2645946.png
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Flor
PROFE
12 de junio 18:22
@Valentino Jajajaja, qué ojo que tuve :P 

Gracias por avisarme! Ahí edito el ejercicio y ya dejo únicamente la resolución del que tiene que ir :)
0 Responder